Si vous voulez marcher jusqu'à la porte, vous devez d'abord parcourir la moitié du chemin. Mais avant d'arriver à la moitié, vous devez parcourir un quart du chemin. Et avant cela, un huitième.
Il y a environ 2 500 ans, un homme nommé Zénon d'Élée a utilisé une série d'expériences de pensée pour affirmer que le mouvement pourrait être impossible. Il a créé des paradoxes célèbres qui ont forcé les gens à remettre en question la nature de l'infini et la réalité du monde que nous voyons chaque jour.
Imaginez que vous êtes debout sur une route poussiéreuse du sud de l'Italie. Nous sommes vers 450 avant notre ère. Le soleil est chaud, et l'air sent le sel de la mer voisine. C'est Élée, une ville pleine de marchands, de marins et de certains des penseurs les plus têtus du monde.
Parmi eux se trouve Zénon. Il n'est pas intéressé par l'achat d'olives ou l'expédition de céréales. Il s'intéresse au fonctionnement du monde, ou plutôt, à la raison pour laquelle il pourrait ne pas fonctionner comme nous le pensons.
Imaginez une place de marché dans la Grèce antique. Des philosophes en robes blanches sont rassemblés sous un porche en marbre. Tandis que tout le monde se dispute le prix du poisson, Zénon dessine des lignes dans la terre, essayant de prouver que personne n'est réellement en mouvement.
Zénon était un étudiant du philosophe Parménide. Parménide avait une idée étrange. Il croyait que l'univers était une seule chose, immuable. Il pensait que le changement et le mouvement n'étaient que des tours que nos yeux nous jouaient.
Zénon a décidé d'aider son professeur. Il n'a pas utilisé d'outils ou de microscopes. Il a utilisé le pouvoir de la pure logique pour créer des énigmes qui semblaient impossibles à résoudre.
Le Coureur qui ne Commence Jamais
Regardons la première énigme de Zénon. Elle s'appelle le Paradoxe de la Dichotomie. Imaginez un coureur nommé Achille. C'est l'homme le plus rapide de Grèce. Il veut courir de sa ligne de départ jusqu'à un arbre situé à 100 mètres de là.
Mira says:
"C'est comme quand j'essaie de finir une tablette de chocolat en ne mangeant que la moitié de ce qui reste. J'ai toujours un petit morceau, puis un morceau encore plus petit, puis une miette. Est-ce que la tablette disparaît vraiment ?"
Avant qu'Achille ne puisse atteindre l'arbre, il doit d'abord atteindre le point médian. Cela fait 50 mètres. Cela semble facile pour un champion coureur.
Mais attendez. Avant d'atteindre la marque des 50 mètres, il doit atteindre la moitié de cette distance. Cela fait 25 mètres. Et avant d'atteindre 25 mètres, il doit atteindre 12,5 mètres.
Essayez de marcher vers un mur. Faites un pas qui couvre la moitié de la distance. Faites maintenant un autre pas qui couvre la moitié de ce qui reste. Répétez l'opération. Toucheez-vous jamais réellement le mur si vous ne faites que la moitié du chemin vers lui ?
Chaque fois qu'Achille essaie de bouger, Zénon souligne une distance plus petite qu'il doit couvrir en premier. Il y a toujours un point médian. Vous pouvez diviser n'importe quelle distance en deux, puis encore en deux, pour toujours.
S'il y a un nombre infini de points médians à franchir, comment Achille peut-il faire son premier pas ? Pour Zénon, il semblait que le coureur resterait bloqué sur la ligne de départ pour toujours, piégé par les mathématiques de son propre voyage.
Celui qui est en mouvement doit atteindre la moitié du chemin avant d'atteindre le but.
C'est le cœur d'un paradoxe. Un paradoxe est une affirmation qui semble mener à une contradiction logique. On a l'impression que cela devrait être vrai, mais aussi que cela doit être faux.
Achille et la Tortue
L'histoire la plus célèbre de Zénon concerne une course. Il a imaginé Achille faisant la course avec une tortue lente et régulière. Parce qu'Achille est beaucoup plus rapide, il donne à la tortue une avance de 100 mètres.
Zénon a écrit plus de 40 paradoxes différents, mais la plupart ont été perdus avec le temps. Nous ne connaissons ses plus célèbres que parce que d'autres écrivains comme Aristote et Platon les ont trouvés si agaçants et brillants qu'ils ont dû les noter pour pouvoir les contredire !
La course commence. Achille court vers l'endroit où la tortue a commencé. Mais au moment où il y arrive, la tortue a avancé un peu plus, peut-être juste un mètre.
Achille court jusqu'à ce nouvel endroit. Mais le temps qu'il lui faut pour y arriver, la tortue a avancé à nouveau, peut-être de quelques centimètres seulement. Achille continue de courir jusqu'à l'endroit où se trouvait la tortue, mais la tortue est toujours un tout petit peu plus loin devant.
Finn says:
"Attends, si l'écart devient toujours plus petit mais n'atteint jamais zéro, cela signifie-t-il que la tortue est en sécurité ? On dirait qu'il y a un bouclier magique fait de maths qui le protège !"
Peu importe la vitesse à laquelle Achille court, il doit toujours atteindre l'endroit où se trouvait la tortue. Dans cette minuscule tranche de temps, la tortue aura toujours avancé au moins une distance microscopique.
Selon la logique de Zénon, Achille peut se rapprocher de plus en plus, mais il ne peut jamais vraiment dépasser la tortue. L'écart entre eux peut être divisé en morceaux de plus en plus petits, mais il ne disparaît jamais complètement.
Le plus lent ne sera jamais dépassé par le plus rapide.
Cela nous semble faux. Nous savons que dans le monde réel, un coureur rapide dépasserait une tortue en quelques secondes. Alors, où est l'erreur ? Est-elle dans les mathématiques de Zénon, ou dans la façon dont nous voyons le monde ?
La Flèche Figée
Zénon avait une autre énigme appelée le Paradoxe de la Flèche. Celle-ci est encore plus étrange. Imaginez une flèche volant dans l'air. Si vous pouviez prendre une photo d'elle à n'importe quel moment, que verriez-vous ?
En cet instant minuscule, la flèche est à un endroit précis. Elle n'avance pas dans l'espace qu'elle occupait déjà, et elle n'est pas encore dans l'espace où elle va. Pendant cette fraction de seconde, la flèche est immobile.
L'espace est continu. C'est comme une glissière lisse. Vous pouvez le diviser en morceaux de plus en plus petits pour toujours, mais c'est une seule chose solide.
L'espace est discret. C'est comme un jeu de Lego. Si vous zoomez suffisamment, il existe une plus petite 'brique' d'espace qui ne peut plus être divisée.
Si le temps est composé d'une série de moments minuscules, et que la flèche est immobile à chacun de ces moments, alors quand bouge-t-elle réellement ? Zénon soutenait que la flèche est en fait stationnaire à chaque point de son vol.
Cela remet en question notre idée du temps. Nous pensons au temps comme à une rivière qui coule. Mais Zénon suggère qu'il pourrait ressembler davantage à une pellicule de film, composée de milliers d'images fixes. Si chaque image est fixe, d'où vient le mouvement ?
Mira says:
"Peut-être que le temps n'est pas une ligne du tout. Peut-être que c'est comme un livre à rabat. Si je fais tourner les pages assez vite, le dessin bouge. Mais si je m'arrête, ce ne sont que des dessins qui sont coincés."
À Travers les Âges
Pendant des siècles, les gens ont essayé de déjouer Zénon. Ils savaient qu'ils pouvaient traverser une pièce, mais ils ne pouvaient pas expliquer pourquoi les mathématiques de Zénon disaient que c'était impossible. Il a fallu des centaines d'années et de nouveaux types de mathématiques pour trouver une réponse.
À Travers les Âges
Des philosophes comme Aristote ont fait valoir que Zénon se trompait en confondant deux types d'infini. Il y a l'infini de l'esprit et l'infini du monde réel. Dans nos têtes, nous pouvons diviser un mètre éternellement. Mais dans le monde réel, peut-être que l'espace n'est pas fait de points infinis.
Plus tard, les mathématiciens ont créé le calcul infinitésimal. C'est une façon de faire des mathématiques qui traite des choses qui deviennent de plus en plus petites. Ils ont montré que si l'on additionne un nombre infini de morceaux de plus en plus petits, on peut en réalité obtenir un nombre fini et achevé.
En mathématiques, si vous additionnez 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16... et que vous continuez indéfiniment, le total ne dépassera jamais 1. Il 'converge' exactement vers 1. C'est ainsi que les mathématiques modernes expliquent pourquoi Achille peut finalement atteindre l'arbre !
Même avec le calcul, les idées de Zénon nous hantent encore. Les scientifiques d'aujourd'hui étudient la mécanique quantique, qui examine les plus petites parties possibles de l'univers. Ils se demandent toujours : l'espace est-il une glissière lisse, ou est-il fait de petits blocs saccadés ?
Les énigmes de Zénon ne concernent pas seulement les mathématiques. Elles concernent la façon dont nous faisons confiance à nos sens. Il nous rappelle que le monde pourrait être bien plus mystérieux qu'il n'y paraît lorsque nous marchons simplement dans la rue.
Ce que la Tortue a dit à Achille est un mystère qui ne finit jamais.
Zénon ne voulait pas empêcher les gens de bouger. Il voulait qu'ils s'arrêtent et réfléchissent. Il voulait que nous réalisions qu'un simple pas à travers un jardin est un miracle de logique et de physique que nous essayons encore de comprendre pleinement.
À méditer
Si vous pouviez geler un seul instant dans le temps parfaitement, le monde serait-il toujours le même monde, ou serait-il quelque chose de complètement différent ?
Il n'y a pas de bonne réponse à cela. Pensez à ce qui fait que le 'maintenant' ressemble à du 'maintenant'. Est-ce parce que les choses bougent, ou est-ce que le 'maintenant' n'est qu'une seule image dans votre esprit ?
Questions sur Philosophie
Zénon croyait-il vraiment que nous ne pouvions pas bouger ?
Le paradoxe de Zénon est-il résolu maintenant ?
Pourquoi est-ce appelé un 'paradoxe' ?
L'Émerveillement du Petit
Les paradoxes de Zénon nous invitent à regarder le monde de plus près que jamais auparavant. Ils nous montrent qu'une simple course ou une flèche volante contient un mystère aussi vaste que l'univers lui-même. La prochaine fois que vous ferez un pas, souvenez-vous : vous traversez un nombre infini de points juste pour arriver de l'autre côté de la pièce. Et d'une manière ou d'une autre, vous le faites tous les jours.