Si quieres caminar hacia la puerta, primero tienes que recorrer la mitad del camino. Pero antes de llegar a la mitad, tienes que recorrer un cuarto del camino. Y antes de eso, un octavo.
Hace unos 2,500 años, un hombre llamado Zenón de Elea usó una serie de experimentos mentales para argumentar que el movimiento podría ser imposible. Creó famosas paradojas que obligaron a la gente a cuestionar la naturaleza del infinito y la realidad del mundo que vemos todos los días.
Imagina que estás parado en un camino polvoriento en el sur de Italia. El año es aproximadamente el 450 a.C. El sol está caliente y el aire huele a sal del mar cercano. Esta es Elea, una ciudad llena de comerciantes, marineros y algunos de los pensadores más tercos del mundo.
Entre ellos está Zenón. No le interesa comprar aceitunas ni enviar grano. Le interesa cómo funciona el mundo, o más bien, por qué podría no funcionar de la manera en que pensamos que lo hace.
Imagina un mercado en la Antigua Grecia. Filósofos con túnicas blancas se reúnen bajo un porche de mármol. Mientras todos los demás discuten sobre el precio del pescado, Zenón dibuja líneas en la tierra, tratando de demostrar que en realidad nadie se está moviendo.
Zenón fue un estudiante de un filósofo llamado Parménides. Parménides tenía una idea extraña. Creía que el universo era una sola cosa inmutable. Pensaba que el cambio y el movimiento eran solo trucos que nuestros ojos nos jugaban.
Zenón decidió ayudar a su maestro. No usó herramientas ni microscopios. Usó el poder de la lógica pura para crear acertijos que parecían imposibles de resolver.
El Corredor que Nunca Empieza
Veamos el primer acertijo de Zenón. Se llama la Paradoja de la Dicotomía. Imagina un corredor llamado Aquiles. Es el hombre más rápido de Grecia. Quiere correr desde su línea de salida hasta un árbol a 100 metros de distancia.
Mira says:
"Esto es como cuando intento terminar una barra de chocolate comiendo solo la mitad de lo que queda. Sigo teniendo un pedacito, luego un trocito más pequeño, luego una miga. ¿La barra desaparece de verdad?"
Antes de que Aquiles pueda llegar al árbol, primero debe llegar al punto medio. Eso son 50 metros. Parece fácil para un campeón corredor.
¿Pero espera? Antes de que pueda llegar a la marca de 50 metros, debe llegar al punto medio de esa distancia. Eso son 25 metros. Y antes de llegar a 25 metros, debe alcanzar los 12.5 metros.
Intenta caminar hacia una pared. Da un paso que cubre la mitad de la distancia. Ahora da otro paso que cubre la mitad de lo que queda. Hazlo de nuevo. ¿Tocarás la pared si solo te mueves a la mitad del camino hacia ella?
Cada vez que Aquiles intenta moverse, Zenón señala una distancia más pequeña que tiene que cubrir primero. Siempre hay un punto medio. Puedes dividir cualquier distancia a la mitad, y luego a la mitad de nuevo, para siempre.
Si hay un número infinito de puntos medios que cruzar, ¿cómo puede Aquiles dar su primer paso? Para Zenón, parecía que el corredor quedaría atrapado en la línea de salida para siempre, atrapado por las matemáticas de su propio viaje.
Aquel que está en movimiento debe llegar a la mitad del camino antes de llegar a la meta.
Este es el corazón de una paradoja. Una paradoja es una afirmación que parece conducir a una contradicción lógica. Se siente como si fuera verdad, pero también se siente como si tuviera que ser falsa.
Aquiles y la Tortuga
La historia más famosa de Zenón es sobre una carrera. Imaginó a Aquiles compitiendo contra una tortuga lenta y constante. Como Aquiles es mucho más rápido, le da a la tortuga una ventaja de 100 metros.
Zenón escribió más de 40 paradojas diferentes, pero la mayoría se perdieron con el tiempo. Solo conocemos sus acertijos más famosos porque otros escritores como Aristóteles y Platón pensaron que eran tan molestos y brillantes que tuvieron que escribirlos para discutir con ellos.
Comienza la carrera. Aquiles corre hacia el lugar donde empezó la tortuga. Pero cuando llega allí, la tortuga se ha movido un poco más, quizás solo un metro.
Aquiles corre hasta ese nuevo lugar. Pero en el tiempo que le toma llegar allí, la tortuga se ha movido de nuevo, tal vez solo unos pocos centímetros. Aquiles sigue corriendo hacia donde estaba la tortuga, pero la tortuga siempre está un poquito más adelante.
Finn says:
"Espera, si la brecha siempre se hace más pequeña pero nunca llega a cero, ¿significa eso que la tortuga está a salvo? ¡Parece que hay un escudo mágico hecho de matemáticas protegiéndola!"
No importa qué tan rápido corra Aquiles, siempre debe llegar al punto donde estaba la tortuga. En esa pequeña fracción de tiempo, la tortuga siempre habrá avanzado al menos una distancia microscópica.
Según la lógica de Zenón, Aquiles puede acercarse cada vez más, pero nunca puede adelantar a la tortuga. La brecha entre ellos se puede dividir en trozos cada vez más pequeños, pero nunca desaparece por completo.
El más lento nunca será alcanzado por el más rápido.
Esto se siente mal para nosotros. Sabemos que en el mundo real, un corredor rápido pasaría a una tortuga en segundos. Entonces, ¿dónde está el error? ¿Está en las matemáticas de Zenón, o está en cómo vemos el mundo?
La Flecha Congelada
Zenón tenía otro acertijo llamado la Paradoja de la Flecha. Este es aún más extraño. Imagina una flecha volando por el aire. Si pudieras tomarle una foto en cualquier momento, ¿qué verías?
En ese instante minúsculo, la flecha está en un lugar específico. No se está moviendo hacia el espacio que ya ocupaba, y aún no está en el espacio al que va. Durante ese único instante, la flecha está quieta.
El espacio es continuo. Es como un tobogán liso. Puedes dividirlo en pedazos cada vez más pequeños para siempre, pero es una sola cosa sólida.
El espacio es discreto. Es como un juego de Legos. Si te acercas lo suficiente, hay un 'ladrillo' de espacio lo más pequeño posible que no se puede dividir más.
Si el tiempo está hecho de muchos momentos diminutos, y la flecha está quieta en cada uno de esos momentos, entonces, ¿cuándo se mueve realmente? Zenón argumentó que la flecha está en realidad inmóvil en cada punto de su vuelo.
Esto desafía nuestra idea del tiempo. Pensamos en el tiempo como un río que fluye. Pero Zenón sugiere que podría ser más como un rollo de película, hecho de miles de imágenes fijas. Si cada imagen está quieta, ¿de dónde viene el movimiento?
Mira says:
"Quizás el tiempo no es una línea en absoluto. Tal vez es como un libro de dibujos animados. Si paso las páginas lo suficientemente rápido, el dibujo se mueve. Pero si me detengo, son solo dibujos que están pegados."
A Través de las Edades
Durante siglos, la gente trató de vencer a Zenón. Sabían que podían cruzar una habitación, pero no podían explicar por qué las matemáticas de Zenón decían que no podían hacerlo. Se necesitaron cientos de años y nuevos tipos de matemáticas para encontrar una respuesta.
A Través de las Edades
Filósofos como Aristóteles argumentaron que Zenón estaba confundiendo dos tipos de infinito. Existe el infinito de la mente y el infinito del mundo real. En nuestras cabezas, podemos dividir un metro para siempre. Pero en el mundo real, tal vez el espacio no está hecho de puntos infinitos.
Más tarde, los matemáticos crearon el cálculo. Esta es una forma de matemáticas que trata con cosas que se vuelven cada vez más pequeñas. Demostraron que si sumas un número infinito de partes cada vez más pequeñas, en realidad puedes obtener un número finito y terminado.
En matemáticas, si sumas 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16... y sigues hasta el infinito, el total nunca será mayor que 1. 'Converge' exactamente a 1. ¡Así es como las matemáticas modernas explican por qué Aquiles finalmente puede alcanzar el árbol!
Incluso con el cálculo, las ideas de Zenón todavía nos persiguen. Los científicos de hoy estudian la mecánica cuántica, que observa las partes más pequeñas del universo. Todavía se preguntan: ¿Es el espacio un tobogán liso, o está hecho de bloques pequeños y saltarines?
Los acertijos de Zenón no son solo sobre matemáticas. Son sobre cómo confiamos en nuestros sentidos. Nos recuerda que el mundo podría ser mucho más misterioso de lo que parece cuando solo estamos caminando por la calle.
Lo que la Tortuga le dijo a Aquiles es un misterio que nunca termina.
Zenón no quería impedir que la gente se moviera. Quería que se detuvieran y pensaran. Quería que nos diéramos cuenta de que incluso una simple caminata por un jardín es un milagro de la lógica y la física que todavía estamos tratando de comprender por completo.
Algo para Pensar
¿Si pudieras congelar un solo momento en el tiempo perfectamente, el mundo seguiría siendo el mismo mundo, o sería algo completamente diferente?
No hay una respuesta correcta para esto. Piensa en lo que hace que el 'ahora' se sienta como 'ahora'. ¿Es porque las cosas se están moviendo, o es el 'ahora' solo una imagen fija en tu mente?
Preguntas sobre Filosofía
¿Zenón realmente creía que no podíamos movernos?
¿Se ha resuelto la paradoja de Zenón ahora?
¿Por qué se llama 'paradoja'?
La Maravilla de lo Pequeño
Las paradojas de Zenón nos invitan a mirar el mundo más de cerca de lo que nunca lo habíamos hecho. Nos muestran que incluso una simple carrera o una flecha volando contiene un misterio tan grande como el universo mismo. La próxima vez que des un paso, recuerda: estás cruzando un número infinito de puntos solo para llegar al otro lado de la habitación. Y de alguna manera, lo haces todos los días.