बच्चों के लिए ज़ेनो का विरोधाभास

अगर आप दरवाजे तक चलना चाहते हैं, तो आपको पहले वहाँ तक का आधा रास्ता चलना होगा। लेकिन आधा रास्ता तय करने से पहले, आपको उसका एक चौथाई हिस्सा चलना होगा। और उससे पहले, एक आठवां हिस्सा।

लगभग 2,500 साल पहले, ज़ेनो ऑफ़ एलिया नाम के एक व्यक्ति ने गति की प्रकृति पर सवाल उठाने के लिए विचार प्रयोगों की एक श्रृंखला का उपयोग किया। उन्होंने प्रसिद्ध विरोधाभास (paradoxes) बनाए जिन्होंने लोगों को अनंत (infinity) की प्रकृति और हमारे दैनिक जीवन की वास्तविकता पर सवाल उठाने के लिए मजबूर किया।

कल्पना कीजिए कि आप दक्षिणी इटली की एक धूल भरी सड़क पर खड़े हैं। साल लगभग 450 ईसा पूर्व का है। सूरज गर्म है, और हवा में पास के समुद्र से नमक की महक है। यह एलिया है, जो व्यापारियों, नाविकों और दुनिया के कुछ सबसे जिद्दी विचारकों का शहर है।

उन्हीं में से एक हैं ज़ेनो। उन्हें जैतून खरीदने या अनाज भेजने में कोई दिलचस्पी नहीं है। वह इस बात में रुचि रखते हैं कि दुनिया कैसे काम करती है, या बल्कि, यह उस तरह से क्यों नहीं काम कर सकती जैसा हम सोचते हैं।

कल्पना करें

प्राचीन यूनान के एक बाज़ार की कल्पना करें। सफेद लबादे पहने दार्शनिक संगमरमर की छत के नीचे इकट्ठे हुए हैं। जबकि बाकी सब मछली की कीमत पर बहस कर रहे हैं, ज़ेनो मिट्टी में रेखाएँ खींच रहा है, यह साबित करने की कोशिश कर रहा है कि वास्तव में कोई भी चल नहीं रहा है।

ज़ेनो, पार्मेनाइड्स नाम के एक दार्शनिक के शिष्य थे। पार्मेनाइड्स का एक अजीब विचार था। उनका मानना था कि ब्रह्मांड एक ही, अपरिवर्तनीय चीज़ है। उनका मानना था कि परिवर्तन और गति केवल वही चालें हैं जो हमारी आँखें हम पर चलती हैं।

ज़ेनो ने अपने शिक्षक की मदद करने का फैसला किया। उन्होंने उपकरण या माइक्रोस्कोप का उपयोग नहीं किया। उन्होंने तर्क (logic) की शक्ति का उपयोग करके ऐसे पहेलियाँ बनाईं जिन्हें हल करना असंभव लगता था।

वह धावक जो शुरू ही नहीं करता

आइए ज़ेनो की पहली पहेली देखें। इसे द्विभाजन विरोधाभास (Dichotomy Paradox) कहा जाता है। कल्पना कीजिए कि एक धावक है जिसका नाम एकिलीज़ है। वह ग्रीस का सबसे तेज़ आदमी है। वह अपनी शुरुआती रेखा से 100 मीटर दूर एक पेड़ तक दौड़ना चाहता है।

Mira says:

"यह तब होता है जब मैं बचे हुए का केवल आधा खाकर चॉकलेट बार खत्म करने की कोशिश करता हूँ। मैं एक छोटा सा टुकड़ा, फिर एक और छोटा टुकड़ा, फिर एक टुकड़ा खाता रहता हूँ। क्या बार वास्तव में कभी गायब होता है?"

एकिलीज़ को पेड़ तक पहुँचने से पहले, उसे पहले आधे रास्ते तक पहुँचना होगा। वह 50 मीटर है। एक चैंपियन धावक के लिए यह आसान लगता है।

लेकिन रुकिए। 50 मीटर के निशान तक पहुंचने से पहले, उसे उस दूरी के आधे हिस्से तक पहुंचना होगा। वह 25 मीटर है। और 25 मीटर तक पहुंचने से पहले, उसे 12.5 मीटर तक पहुंचना होगा।

यह आज़माएं

एक दीवार की ओर चलने की कोशिश करें। एक ऐसा कदम उठाएं जो दूरी का आधा हिस्सा कवर करे। अब बाकी बचे हुए का आधा हिस्सा कवर करने के लिए एक और कदम उठाएं। इसे फिर से करें। यदि आप हमेशा इसकी ओर केवल आधा चलते हैं, तो क्या आप वास्तव में दीवार को कभी छू पाएंगे?

हर बार जब एकिलीज़ चलने की कोशिश करता है, तो ज़ेनो उस छोटी दूरी की ओर इशारा करते हैं जिसे उसे पहले तय करना होगा। हमेशा एक आधा बिंदु होता है। आप किसी भी दूरी को आधा कर सकते हैं, और फिर हमेशा के लिए आधा कर सकते हैं।

यदि पार करने के लिए आधे बिंदुओं की एक अनंत संख्या है, तो एकिलीज़ अपना पहला कदम कैसे उठा सकता है? ज़ेनो के लिए, ऐसा लग रहा था कि धावक हमेशा के लिए शुरुआती रेखा पर फंसा रहेगा, अपनी ही यात्रा के गणित से फंसा हुआ।

जो गति में है उसे लक्ष्य तक पहुँचने से पहले आधे रास्ते के चरण तक पहुँचना होगा।

यही एक विरोधाभास का मूल है। एक विरोधाभास एक ऐसा कथन है जो तार्किक विरोधाभास की ओर ले जाता हुआ प्रतीत होता है। यह महसूस होता है कि यह सच होना चाहिए, लेकिन यह भी महसूस होता है कि यह झूठ होना चाहिए।

एकिलीज़ और कछुआ

ज़ेनो की सबसे प्रसिद्ध कहानी एक दौड़ के बारे में है। उन्होंने एकिलीज़ को एक धीमे, स्थिर कछुए के साथ दौड़ते हुए चित्रित किया। चूंकि एकिलीज़ बहुत तेज़ है, इसलिए वह कछुए को 100 मीटर की बढ़त देता है।

क्या आप जानते हैं?

ज़ेनो ने 40 से अधिक विभिन्न विरोधाभास लिखे, लेकिन उनमें से अधिकांश समय के साथ खो गए। हम केवल उनके सबसे प्रसिद्ध लोगों के बारे में जानते हैं क्योंकि अरस्तू और प्लेटो जैसे अन्य लेखकों ने सोचा कि वे इतने परेशान करने वाले और शानदार थे कि उन्हें बहस करने के लिए उन्हें लिखना पड़ा!

दौड़ शुरू होती है। एकिलीज़ उस जगह की ओर दौड़ता है जहाँ कछुआ शुरू हुआ था। लेकिन जब तक वह वहाँ पहुँचता है, कछुआ थोड़ा और आगे बढ़ चुका होता है, शायद सिर्फ एक मीटर।

एकिलीज़ उस नए स्थान की ओर दौड़ता है। लेकिन जब तक वह वहाँ पहुँचता है, कछुआ फिर से आगे बढ़ गया होता है, शायद बस कुछ सेंटीमीटर। एकिलीज़ दौड़ता रहता है जहाँ कछुआ बस था, लेकिन कछुआ हमेशा एक छोटा सा कदम आगे होता है।

Finn says:

"रुको, अगर अंतर हमेशा छोटा हो रहा है लेकिन कभी शून्य तक नहीं पहुँचता है, तो क्या इसका मतलब है कि कछुआ सुरक्षित है? ऐसा लगता है जैसे उसके चारों ओर गणित से बनी एक जादुई ढाल है!"

एकिलीज़ कितनी भी तेज़ी से दौड़े, उसे हमेशा उस बिंदु तक पहुँचना होगा जहाँ कछुआ था। उस छोटे से समय में, कछुआ कम से कम एक सूक्ष्म दूरी आगे बढ़ चुका होगा।

ज़ेनो के तर्क के अनुसार, एकिलीज़ करीब आ सकता है, लेकिन वह वास्तव में कछुए को पार नहीं कर सकता। उनके बीच की दूरी को छोटे और छोटे टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है, लेकिन यह पूरी तरह से गायब नहीं होता है।

धीमा व्यक्ति कभी भी तेज़ व्यक्ति से आगे नहीं निकल पाएगा।

यह हमें गलत लगता है। हम जानते हैं कि वास्तविक दुनिया में, एक तेज़ धावक सेकंडों में कछुए को पार कर जाएगा। तो, गलती कहाँ है? क्या यह ज़ेनो के गणित में है, या यह उस तरीके में है जिससे हम दुनिया को देखते हैं?

उड़ता हुआ तीर

ज़ेनो के पास तीर विरोधाभास (Arrow Paradox) नामक एक और पहेली थी। यह और भी अजीब है। कल्पना कीजिए कि एक तीर हवा में उड़ रहा है। यदि आप किसी भी एक पल में उसकी तस्वीर ले सकते हैं, तो आप क्या देखेंगे?

उस एक छोटे से क्षण में, तीर एक निश्चित स्थान पर होता है। यह उस स्थान में प्रवेश नहीं कर रहा है जहाँ वह पहले से था, और यह अभी तक उस स्थान में नहीं है जहाँ वह जाने वाला है। उस एक पल के लिए, तीर स्थिर होता है।

यदि समय छोटे-छोटे क्षणों से बना है, और तीर उन सभी क्षणों में स्थिर है, तो वह वास्तव में कब चलता है? ज़ेनो ने तर्क दिया कि तीर अपनी उड़ान के हर बिंदु पर वास्तव में स्थिर है।

यह समय के बारे में हमारे विचार को चुनौती देता है। हम समय को बहती नदी की तरह सोचते हैं। लेकिन ज़ेनो का सुझाव है कि यह एक मूवी रील की तरह हो सकता है, जो हजारों स्थिर तस्वीरों से बनी है। यदि हर तस्वीर स्थिर है, तो गति कहाँ से आती है?

Mira says:

"शायद समय कोई रेखा ही नहीं है। शायद यह एक फ्लिपबुक की तरह है। अगर मैं पन्ने तेज़ी से पलटता हूँ, तो चित्र हिलता है। लेकिन अगर मैं रुक जाता हूँ, तो यह सिर्फ बहुत सारे अटके हुए चित्र हैं।"

सदियों के दौरान

सदियों तक, लोगों ने ज़ेनो को मात देने की कोशिश की। वे जानते थे कि वे कमरे के पार चल सकते हैं, लेकिन वे यह नहीं समझा सके कि ज़ेनो का गणित क्यों कहता है कि वे ऐसा नहीं कर सकते। एक उत्तर खोजने में सैकड़ों साल और गणित के नए प्रकार लगे।

अरस्तू जैसे दार्शनिकों ने तर्क दिया कि ज़ेनो दो प्रकार की अनंतताओं को भ्रमित कर रहा था। मन की अनंतता होती है, और वास्तविक दुनिया की अनंतता होती है। हमारे दिमाग में, हम एक मीटर को हमेशा के लिए विभाजित कर सकते हैं। लेकिन वास्तविक दुनिया में, शायद अंतरिक्ष अनंत बिंदुओं से नहीं बना है।

बाद में, गणितज्ञों ने कैलकुलस (calculus) का आविष्कार किया। यह गणित का एक तरीका है जो उन चीज़ों से निपटता है जो छोटी होती जाती हैं। उन्होंने दिखाया कि यदि आप छोटी होती जा रही अनंत संख्याओं को जोड़ते हैं, तो भी आप एक सीमित, पूर्ण संख्या प्राप्त कर सकते हैं।

क्या आप जानते हैं?

गणित में, यदि आप 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16... जोड़ते हैं और हमेशा के लिए चलते रहते हैं, तो कुल कभी 1 से अधिक नहीं होगा। यह ठीक 1 पर 'अभिसरण' (converges) करता है। इस तरह आधुनिक गणित समझाता है कि एकिलीज़ अंततः पेड़ तक क्यों पहुँच सकता है!

कैलकुलस के साथ भी, ज़ेनो के विचार हमें परेशान करते रहते हैं। आज वैज्ञानिक क्वांटम यांत्रिकी का अध्ययन करते हैं, जो ब्रह्मांड के सबसे छोटे भागों को देखता है। वे अभी भी आश्चर्य करते हैं: क्या अंतरिक्ष एक चिकनी फिसलन है, या यह छोटे, उछलते हुए ब्लॉकों से बना है?

ज़ेनो की पहेलियाँ सिर्फ गणित के बारे में नहीं हैं। वे इस बारे में हैं कि हम अपनी इंद्रियों पर कितना भरोसा करते हैं। वह हमें याद दिलाता है कि दुनिया तब कहीं अधिक रहस्यमय हो सकती है जब हम बस सड़क पर चल रहे होते हैं।

कछुए ने एकिलीज़ से जो कहा वह एक रहस्य है जो कभी खत्म नहीं होता।

ज़ेनो लोगों को चलने से रोकना नहीं चाहते थे। वह उन्हें रुककर सोचने के लिए प्रेरित करना चाहते थे। वह चाहते थे कि हम महसूस करें कि बगीचे के पार एक साधारण सैर भी तर्क और भौतिकी का एक चमत्कार है जिसे हम अभी भी पूरी तरह से समझने की कोशिश कर रहे हैं।

छोटे का आश्चर्य

ज़ेनो के विरोधाभास हमें दुनिया को पहले से कहीं ज़्यादा करीब से देखने के लिए आमंत्रित करते हैं। वे हमें दिखाते हैं कि एक साधारण दौड़ या उड़ता हुआ तीर भी ब्रह्मांड जितना बड़ा रहस्य रखता है। अगली बार जब आप कदम उठाएँ, तो याद रखें: आप कमरे के दूसरी तरफ जाने के लिए बिंदुओं की एक अनंत संख्या को पार कर रहे हैं। और किसी तरह, आप यह हर दिन करते हैं।