Se você quer andar até a porta, primeiro precisa andar até a metade do caminho. Mas antes de chegar na metade, você precisa andar um quarto do caminho. E antes disso, um oitavo.
Cerca de 2.500 anos atrás, um homem chamado Zenão de Eleia usou uma série de experiências mentais para argumentar que o movimento poderia ser impossível. Ele criou paradoxos famosos que forçaram as pessoas a questionar a natureza do infinito e a realidade do mundo que vemos todos os dias.
Imagine que você está em uma estrada empoeirada no sul da Itália. O ano é aproximadamente 450 a.C. O sol está quente e o ar cheira a sal do mar próximo. Esta é Eleia, uma cidade cheia de comerciantes, marinheiros e alguns dos pensadores mais teimosos do mundo.
Entre eles está Zenão. Ele não está interessado em comprar azeitonas ou transportar grãos. Ele está interessado em como o mundo funciona, ou melhor, por que ele pode não funcionar do jeito que pensamos.
Imagine um mercado na Grécia Antiga. Filósofos de túnicas brancas estão reunidos sob um pórtico de mármore. Enquanto todos os outros discutem o preço do peixe, Zenão está desenhando linhas na terra, tentando provar que ninguém está realmente se movendo.
Zenão era aluno de um filósofo chamado Parmênides. Parmênides tinha uma ideia estranha. Ele acreditava que o universo era uma única coisa, imutável. Ele achava que a mudança e o movimento eram apenas truques que nossos olhos nos pregavam.
Zenão decidiu ajudar seu mestre. Ele não usou ferramentas ou microscópios. Ele usou o poder da pura lógica para criar quebra-cabeças que pareciam impossíveis de resolver.
O Corredor que Nunca Começa
Vamos ver o primeiro quebra-cabeça de Zenão. É chamado de Paradoxo da Dicotomia. Imagine um corredor chamado Aquiles. Ele é o homem mais rápido da Grécia. Ele quer correr da sua linha de partida até uma árvore a 100 metros de distância.
Mira says:
"É como quando eu tento terminar uma barra de chocolate comendo apenas metade do que resta. Eu continuo tendo um pedacinho, depois um pedacinho menor, depois uma migalha. O chocolate realmente desaparece?"
Antes que Aquiles possa chegar à árvore, ele precisa primeiro chegar ao ponto intermediário. Isso são 50 metros. Parece fácil o suficiente para um corredor campeão.
Mas espere. Antes que ele possa chegar à marca de 50 metros, ele precisa chegar à metade dessa distância. Isso são 25 metros. E antes que ele chegue a 25 metros, ele precisa chegar a 12,5 metros.
Tente andar em direção a uma parede. Dê um passo que cubra metade da distância. Agora dê outro passo que cubra metade do que sobrou. Faça isso de novo. Você realmente tocará a parede se cobrir apenas metade do que resta a cada vez?
Toda vez que Aquiles tenta se mover, Zenão aponta uma distância menor que ele precisa cobrir primeiro. Sempre há um ponto intermediário. Você pode dividir qualquer distância pela metade, e depois pela metade novamente, para sempre.
Se há um número infinito de pontos intermediários para cruzar, como Aquiles pode dar seu primeiro passo? Para Zenão, parecia que o corredor ficaria preso na linha de partida para sempre, aprisionado pela matemática de sua própria jornada.
Aquele que está em movimento deve chegar à metade do caminho antes de chegar ao objetivo.
Este é o cerne de um paradoxo. Um paradoxo é uma afirmação que parece levar a uma contradição lógica. Parece que deveria ser verdade, mas também parece que deve ser falso.
Aquiles e a Tartaruga
A história mais famosa de Zenão é sobre uma corrida. Ele imaginou Aquiles correndo contra uma tartaruga lenta e constante. Como Aquiles é muito mais rápido, ele dá à tartaruga uma vantagem de 100 metros.
Zenão escreveu mais de 40 paradoxos diferentes, mas a maioria se perdeu com o tempo. Só conhecemos seus mais famosos porque outros escritores, como Aristóteles e Platão, achavam que eram tão irritantes e brilhantes que precisavam escrevê-los para poder argumentar contra eles!
A corrida começa. Aquiles corre em direção ao local onde a tartaruga começou. Mas quando ele chega lá, a tartaruga se moveu um pouco mais à frente, talvez apenas um metro.
Aquiles corre até esse novo ponto. Mas no tempo que ele leva para chegar lá, a tartaruga se moveu novamente, talvez apenas alguns centímetros. Aquiles continua correndo para onde a tartaruga estava, mas a tartaruga está sempre um pouquinho mais à frente.
Finn says:
"Espere, se a lacuna está sempre diminuindo, mas nunca chega a zero, isso significa que a tartaruga está segura? Parece que há um escudo mágico feito de matemática protegendo-a!"
Não importa quão rápido Aquiles corra, ele sempre precisa alcançar o ponto onde a tartaruga estava. Nessa minúscula fatia de tempo, a tartaruga sempre terá se movido pelo menos uma distância microscópica para a frente.
De acordo com a lógica de Zenão, Aquiles pode chegar cada vez mais perto, mas ele nunca pode realmente ultrapassar a tartaruga. A lacuna entre eles pode ser dividida em pedaços cada vez menores, mas nunca desaparece totalmente.
O mais lento nunca será alcançado pelo mais rápido.
Isso parece errado para nós. Sabemos que no mundo real, um corredor rápido ultrapassaria uma tartaruga em segundos. Então, onde está o erro? Está na matemática de Zenão, ou está na forma como vemos o mundo?
A Flecha Congelada
Zenão tinha outro quebra-cabeça chamado Paradoxo da Flecha. Este é ainda mais estranho. Imagine uma flecha voando pelo ar. Se você pudesse tirar uma foto dela em qualquer momento, o que você veria?
Nesse único instante, a flecha está em um lugar específico. Ela não está se movendo para o espaço que já ocupava, e ainda não está no espaço para o qual está indo. Por esse breve segundo, a flecha está parada.
O espaço é contínuo. É como um escorregador liso. Você pode dividi-lo em pedaços cada vez menores para sempre, mas é tudo uma coisa sólida.
O espaço é discreto. É como um conjunto de blocos de montar (Lego). Se você der um zoom suficiente, existe um 'tijolo' de espaço menor possível que não pode ser dividido mais.
Se o tempo é feito de vários momentos minúsculos, e a flecha está parada em cada um desses momentos, então quando ela realmente se move? Zenão argumentava que a flecha está, na verdade, parada em cada ponto de seu voo.
Isso desafia nossa ideia de tempo. Pensamos no tempo como um rio fluindo. Mas Zenão sugere que pode ser mais como uma bobina de filme, feita de milhares de imagens paradas. Se cada imagem está parada, de onde vem o movimento?
Mira says:
"Talvez o tempo não seja uma linha. Talvez seja como um livro de recortes (flipbook). Se eu folhear as páginas rápido o suficiente, o desenho se move. Mas se eu parar, são apenas desenhos parados."
Através dos Séculos
Durante séculos, as pessoas tentaram vencer Zenão. Elas sabiam que podiam atravessar uma sala, mas não conseguiam explicar por que a matemática de Zenão dizia que não podiam. Levou centenas de anos e novos tipos de matemática para encontrar uma resposta.
Através dos Séculos
Filósofos como Aristóteles argumentaram que Zenão estava confundindo dois tipos de infinito. Existe o infinito da mente e o infinito do mundo real. Em nossas cabeças, podemos dividir um metro para sempre. Mas no mundo real, talvez o espaço não seja feito de pontos infinitos.
Mais tarde, os matemáticos criaram o cálculo. Esta é uma forma de matemática que lida com coisas que ficam cada vez menores. Eles mostraram que, se você somar um número infinito de partes cada vez menores, você pode, na verdade, obter um número finito e completo.
Em matemática, se você somar 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16... e continuar para sempre, o total nunca será maior que 1. Ele 'converge' exatamente em 1. É assim que a matemática moderna explica por que Aquiles pode finalmente alcançar a árvore!
Mesmo com o cálculo, as ideias de Zenão ainda nos assombram. Cientistas hoje estudam a mecânica quântica, que investiga as menores partes possíveis do universo. Eles ainda se perguntam: o espaço é um escorregador liso, ou é feito de pequenos blocos saltitantes?
Os quebra-cabeças de Zenão não são apenas sobre matemática. Eles são sobre como confiamos em nossos sentidos. Ele nos lembra que o mundo pode ser muito mais misterioso do que parece quando estamos apenas andando pela rua.
O que a Tartaruga disse a Aquiles é um mistério que nunca termina.
Zenão não queria impedir as pessoas de se moverem. Ele queria que elas parassem e pensassem. Ele queria que percebêssemos que até mesmo uma simples caminhada pelo jardim é um milagre de lógica e física que ainda estamos tentando entender completamente.
Algo para Pensar
Se você pudesse congelar um único momento no tempo perfeitamente, o mundo ainda seria o mesmo mundo, ou seria algo totalmente diferente?
Não há resposta certa para isto. Pense no que faz o 'agora' parecer 'agora'. É porque as coisas estão se movendo, ou o 'agora' é apenas uma única imagem em sua mente?
Perguntas sobre Filosofia
Zenão realmente acreditava que não podíamos nos mover?
O paradoxo de Zenão está resolvido hoje?
Por que é chamado de 'paradoxo'?
A Maravilha do Pequeno
Os paradoxos de Zenão nos convidam a olhar mais de perto o mundo do que jamais olhamos antes. Eles nos mostram que até mesmo uma simples corrida ou uma flecha voando contém um mistério tão grande quanto o próprio universo. Da próxima vez que você der um passo, lembre-se: você está cruzando um número infinito de pontos apenas para chegar ao outro lado da sala. E de alguma forma, você faz isso todos os dias.